Question

7．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，E为BC中点，F在棱PD上，AF⊥PD，点B到平面AEF的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面AEF的距离．

解答 解：∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，
∴以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=2，PA=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，E为BC中点，F在棱PD上，AF⊥PD，
∴A（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，-1，0），E（$\sqrt{3}，0，0$），P（0，0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），D（0，2，0），
设F（a，b，c），$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PD}$，则（a，b，c-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=（0，2λ，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}λ$），
解得a=0，b=2λ，c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}λ$，
∴$\overrightarrow{AF}$=（0，2λ，$\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}λ$），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∵AF⊥PD，∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{PD}$=4λ-$\frac{4}{3}+\frac{4}{3}λ=0$，
解得λ=$\frac{1}{4}$，∴$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}，0，0$），$\overrightarrow{AF}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}，-1$），
∴点B到平面AEF的距离为：
d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．