Question

1．已知f（x）=x²+ax+$\frac{9}{a-1}$，（a为常数且a≠1），
（1）若不等式f（x）＜0的解集为{x|-1＜x＜3}，求a的值；
（2）若a＞1，求f（1）的最小值．

Answer 1

分析 （1）将x=-1，3代入f（x），得到关于a的方程组，解出即可；（2）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）由题意得：-1，3是方程x²+ax+$\frac{9}{a-1}$=0的根，
故$\left\{\begin{array}{l}{1-a+\frac{9}{a-1}=0}\\{9+3a+\frac{9}{a-1}=0}\end{array}\right.$，解得：a=-2；
（2）a＞1时，f（1）=a+1+$\frac{9}{a-1}$=（a-1）+$\frac{9}{a-1}$+2≥2$\sqrt{（a-1）•\frac{9}{a-1}}$+2=8，
当且仅当a-1=$\frac{9}{a-1}$时“=”成立．
即f（1）的最小值为8．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，是一道基础题．