Question

10．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有2个红球、3个白球的甲箱和装有2个红球、2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（Ⅰ）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（Ⅱ）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
（Ⅲ）若只从甲箱中抽取3个球，记抽到的三个球中红球的数目是随机变量Y，求Y的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）设“顾客抽奖1次能获奖”为事件A，则P（A）=$\frac{{∁}_{2}^{1}•{∁}_{2}^{1}+{∁}_{2}^{1}•{∁}_{2}^{1}+{∁}_{2}^{1}•{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{5}^{1}•{∁}_{4}^{1}}$．
（II）设“顾客抽奖1次能获一等奖”为事件B，则P（B）=$\frac{{∁}_{2}^{1}•{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{5}^{1}•{∁}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{5}$．则X可能取值为0，1，2，3，X～B（3，$\frac{1}{5}$），P（X=k）=${∁}_{3}^{k}$$（\frac{1}{5}）^{k}（\frac{4}{5}）^{3-k}$，即可得出其分布列与数学期望．
（III）Y的可能取值为0，1，2，利用超几何分别可得：P（Y=k）=$\frac{{∁}_{2}^{k}{∁}_{3}^{3-k}}{{∁}_{5}^{3}}$．

解答 解：（I）设“顾客抽奖1次能获奖”为事件A，则P（A）=$\frac{{∁}_{2}^{1}•{∁}_{2}^{1}+{∁}_{2}^{1}•{∁}_{2}^{1}+{∁}_{2}^{1}•{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{5}^{1}•{∁}_{4}^{1}}$=$\frac{7}{10}$．
（II）设“顾客抽奖1次能获一等奖”为事件B，则P（B）=$\frac{{∁}_{2}^{1}•{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{5}^{1}•{∁}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{5}$．则X可能取值为0，1，2，3，X～B（3，$\frac{1}{5}$），P（X=k）=${∁}_{3}^{k}$$（\frac{1}{5}）^{k}（\frac{4}{5}）^{3-k}$，其分布列为：

X	0	1	2	3
P（X）	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

∴E（X）=$3×\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$．
（III）Y的可能取值为0，1，2，利用超几何分别可得：P（Y=0）=$\frac{{∁}_{3}^{3}}{{∁}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，P（Y=1）=$\frac{{∁}_{2}^{1}{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{5}^{3}}$=$\frac{6}{10}$，P（Y=2）=$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$．∴分布列为：

Y	0	1	2
P（Y）	$\frac{1}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{3}{10}$

∴E（Y）=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{6}{10}$+2×$\frac{3}{10}$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了古典概率计算公式、二项分布列及其数学期望、超几何分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．