Question

7．已知数列满足a₁=1，a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$（n≥2），写出该数列的前5项及它的一个通项公式．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$（n≥2），可得a₂=a₁+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，同理可得：a₃，a₄，a₅．由a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$，可得a_n-a_n-1=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$（n≥2），∴a₂=a₁+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，同理可得：a₃=$\frac{5}{3}$，a₄=$\frac{7}{4}$，a₅=$\frac{9}{5}$．
∵a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$，∴a_n-a_n-1=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$+$（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}）$+…+$（1-\frac{1}{2}）$+1=1-$\frac{1}{n}$+1=2-$\frac{1}{n}$，

点评 本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．