Question

16．若实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-2≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，则y的最大值为2，$\frac{y+1}{x+2}$的取值范围是[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-2≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，对应的平面区域如图：
可知A的纵坐标取得最大值：2．
∵z=$\frac{y+1}{x+2}$，则z的几何意义为区域内的点到定点D（-2，-1）的斜率，
由图象知BD的斜率最小，AD的斜率最大，则z的最大为：
$\frac{2+1}{0+2}$=$\frac{3}{2}$，最小为：$\frac{0+1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{3}$≤z≤$\frac{3}{2}$，
则z=$\frac{y+1}{x+2}$，的取值范围是[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{2}$]，
故答案为：2；[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义以及斜率的计算，通过数形结合是解决本题的关键．