Question

已知△ABC中，|AC|=|BC|=2，∠ACB=90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，E为直径AC上的动点，则

AM

•

AE

-

AM

•

DE

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：建立坐标系，明确A，M，D的坐标，以及向量

AM

，

AD

的坐标，利用向量的数量积得到关于α的解析式求范围．

解答： 解：由题意，建立如图所示的直角坐标系，则A（-1，0），M（1，-1），设D（cosα，sinα）．
∴

AM

=（2，-1），

AD

=（cosα+1，sinα）．
∴

AM

•

AE

-

AM

•

DE

=

AM

•

AD

=2cosα+2-sinα=2+

5

sin（θ-α），其中tanθ=2．
∵sin（θ-α）∈[-1，1]，
∴2+

5

sin（θ-α）∈[2-

5

，2+

5

]，
∴

AM

•

AE

-

AM

•

DE

的取值范围是[2-

5

，2+

5

]．
故答案为：[2-

5

，2+

5

]．

点评：本题考查平面向量的数量积的运用，涉及三角函数的值域，关键是建系通过向量的数量积得到关于α的三角函数解析式，利用正弦函数的有界性解决问题，属中档题．