Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距为2

3

，长轴长是短轴长的2倍．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）斜率为k的直线l交椭圆于A、B两点，其中A点为椭圆的左顶点，若椭圆的上顶点P始终在以AB为直径的圆内，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,方程思想,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据椭圆的几何性质，列出方程组

a b =2 c= 3 a2=b2+c2

，求出a、b的值即可；
（Ⅱ）写出直线l的方程，与椭圆方程联立，求出点B的坐标，利用P在以AB为直径的圆内，

PA

•

PB

＜0，求出k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）根据题意，得

a b =2 c= 3 a2=b2+c2

；
解得a=2，b=1；
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y²=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及题意，知顶点A为（-2，0），
∴直线l的方程为y=k（x+2），
与椭圆方程联立，得

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

；
消去y，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0；
设点B为（x₀，y₀），则x₀-2=-

16k2

1+4k2

，
∴x₀=

2-8k2

1+4k2

，y₀=

4k

1+4k2

；
又椭圆的上顶点P在以AB为直径的圆内，
∴∠APB为钝角，即

PA

•

PB

＜0；
∵P（0，1），A（-2，0），B（

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

），
∴

PA

=（-2，-1），

PB

=（

2-8k2

1+4k2

，

-4k2+4k-1

1+4k2

）；
∴

16k2-4

1+4k2

+

4k2-4k+1

1+4k2

＜0，
即20k²-4k-3＜0，解得k∈（-

3

10

，

1

2

）．

点评：本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了方程思想的应用，是综合性题目．