Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）的单调递增区间；
（2）如果函f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先考虑函数的定义域，然后求出导函数=0时的值，讨论导数大于小于0时函数的递增递减区间即可；
（2）由题意可知导函数等于0时在（-1，+∞）有两个不等实根，即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，设g（x）=2x²+2x+b=0，然后讨论根的判别式大于0即g（-1）大于0得到b的范围即可．

解答：解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞），b=-12时，
由 f′(x)=2x-

12

x+1

=

2x2+2x-12

x+1

=0，得x=2（x=-3舍去），
当x∈（-1，2）时，f'（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，
所以当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增．
（2）由题意 f′(x)=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
设g（x）=2x²+2x+b，则

△=4-8b＞0 g(-1)＞0

，
解之得 0＜b＜

1

2

点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求函数极值的能力，理解函数恒成立条件的能力．