【题目】设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且x>1时,f(x)>0.
(1)求f()的值;
(2)判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性并给出证明;
(3)解不等式f(2x)>f(8x-6)-1.
【答案】(1)-1 ; (2)见解析; (3){x|}.
【解析】
(1)先给x,y取值,当x=y=1时,求出 f(1)=0. 当x=2,y=时,即可求出f(
)的值.(2) y=f(x)在(0,+∞)上为增函数,再利用单调性的定义证明.(3) 由(1)知,f(
)=-1,所以f(8x-6)-1=f(8x-6)+f(
),得到f(2x)>f(4x-3),再利用函数的单调性解不等式得解.
(1)对于任意x,y∈R都有f(xy)=f(x)+f(y),
∴当x=y=1时,有f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.
当x=2,y=时,有f(2×
)=f(2)+f(
),
即f(2)+f()=0,又f(2)=1,∴f(
)=-1.
(2)y=f(x)在(0,+∞)上为增函数,证明如下:
设0<x1<x2,则f(x1)+f()=f(x2),
即f(x2)-f(x1)=f().
∵>1,故f(
)>0,
即f(x2)>f(x1),故f(x)在(0,+∞)上为增函数.
(3)由(1)知,f()=-1,∴f(8x-6)-1=f(8x-6)+f(
)
=f( (8x-6))=f(4x-3)
∴f(2x)>f(4x-3),
∵f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,∴
解得解集为{x|}.
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【题目】已知函数为奇函数.
(1)求的值,并求
的定义域;
(2)判断函数的单调性,不需要证明;
(3)若对于任意,是否存在实数
,使得不等式
恒成立?若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生态”为主题,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本(元)与月处理量
(吨)之间的函数关系可近似地表示为
,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损?
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【题目】如图,已知椭圆与椭圆
的离心率相同.
(1)求的值;
(2)过椭圆的左顶点
作直线
,交椭圆
于另一点
,交椭圆
于
两点(点
在
之间).①求
面积的最大值(
为坐标原点);②设
的中点为
,椭圆
的右顶点为
,直线
与直线
的交点为
,试探究点
是否在某一条定直线上运动,若是,求出该直线方程;若不是,请说明理由.
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【题目】已知动圆过定点
且与
轴相切,点
关于圆心
的对称点为
,动点
的轨迹记为
.
(1)求的方程;
(2)设直线:
与曲线
交于点
、
;直线
:
与
交于点
,
,其中
,以
、
为直径的圆
、
(
、
为圆心)的公共弦所在直线记为
,求
到直线
距离的最小值.
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【题目】有A、B两种型号台灯,若购买2台A型台灯和6台B型台灯共需610元,若购买6台A型台灯和2台B型台灯共需470元.
(1)求A、B两种型号台灯每台分别多少元?
(2)采购员小红想采购A、B两种型号台灯共30台,且总费用不超过2200元,则最多能采购B型台灯多少台?
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【题目】已知函数,
(
为常数,且
).
(1)若当时,函数
与
的图象有且只要一个交点,试确定自然数
的值,使得
(参考数值
,
,
,
);
(2)当时,证明:
(其中
为自然对数的底数).
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