Question

【题目】已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，动点的轨迹记为.

（1）求的方程；

（2）设直线：与曲线交于点、；直线：与交于点，，其中，以、为直径的圆、（、为圆心）的公共弦所在直线记为，求到直线距离的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）设 ，则 ，结合直线与圆相切的充分必要条件可得 .整理化简，则轨迹方程为.

（2）设 ， ，联立直线与抛物线的方程可得，

，结合韦达定理可得以为直径的圆的方程是： ，化简可得 ，同理可得以为直径的圆的方程是： ，两式作差可得的方程是： .结合点到直线距离公式可得 ，则所求距离最小值为 .

详解：（1）如图，设，则，

由题可知，动圆与轴相切，得.

即.

化简得：.

（2）设，，

将代入得：，，

则：，

且①

设是上的任意一点.

由得以为直径的圆的方程是：

，

将①式代入上式，化简得：②

同理以为直径的圆的方程是：③

②③得的方程是：.

又，

到的距离：

当时，所求距离最小值为.