Question

【题目】已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若恰有两个整数解，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当时，为上的减函数；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）

【解析】

（1）求导后，分别在和两种情况下判断导函数的正负，从而得到原函数的单调性；（2）将问题转变为恰有两个整数解，令，通过导数可得函数的单调性，进而得到函数图象，利用数形结合的方式判断出恰有两个整数解的情况，从而得到所求范围.

（1）由题意知：

当时， 为上的减函数

当时，由，解得：

当时，；当时，

的单调递减区间为，单调递增区间为

综上所述：当时，为上的减函数；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为

（2）由恰有两个整数解可得恰有两个整数解

设，则：

令，解得：

当时，；当时，

在上单调递增，在上单调递减

又，，，

可得图象如下图所示：

根据数形结合可知，若恰有两个整数解，则需

即当时，恰有两个整数解