Question

【题目】如图，已知椭圆与椭圆的离心率相同．

（1）求的值；

（2）过椭圆的左顶点作直线，交椭圆于另一点，交椭圆于两点（点在之间）．①求面积的最大值（为坐标原点）；②设的中点为，椭圆的右顶点为，直线与直线的交点为，试探究点是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②点在定直线上

【解析】

（1）利用两个椭圆离心率相同可构造出方程，解方程求得结果；（2）①当与轴重合时，可知不符合题意，则可设直线的方程：且；设，，联立直线与椭圆方程可求得，则可将所求面积表示为：，利用换元的方式将问题转化为二次函数的最值的求解，从而求得所求的最大值；②利用中点坐标公式求得，则可得直线的方程；联立直线与椭圆方程，从而可求解出点坐标，进而得到直线方程，与直线联立解得坐标，从而可得定直线.

(1) 由椭圆方程知：，

离心率：

又椭圆中，，

，又，解得：

（2）①当直线与轴重合时，三点共线，不符合题意

故设直线的方程为：且

设，

由（1）知椭圆的方程为：

联立方程消去得：

即：

解得：，，

又

令

，此时

面积的最大值为：

②由①知：

直线的斜率：

则直线的方程为：

联立方程消去得：，解得：

则直线的方程为：

联立直线和的方程，解得：

点在定直线上运动