Question

【题目】已知椭圆的两个焦点为，，椭圆上一动点到，距离之和为4，当到轴上的射影恰为时，，左、右顶点分别为，，为坐标原点，经过点的直线与椭圆交于，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）记与的面积分别为，，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）椭圆的方程为： （2）的最大值为

【解析】

（1）先根据椭圆的定义得，再由到轴上的射影恰为时，得关于的方程，最后结合椭圆中，解方程组即可求解.

（2）根据题意设直线的方程为：，与椭圆方程联立，得到两根和、两根积，再将整理为韦达定理的形式，代入化简即可求解.

解：（1）由题意知：，所以 ①，

又，且，

所以 ②，

又③，

由①②③得：，

所以椭圆的方程为：.

（2）由题意直线过点，且斜率不为0，

所以设直线的方程为：，

联立

得：，

设点，

则，

因为，，

所以，

又，

所以，

当且仅当时，等号成立，

所以的最大值为.