Question

【题目】已知函数的最大值为.

（1）若关于的方程的两个实数根为，求证：；

（2）当时，证明函数在函数的最小零点处取得极小值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】分析：（1）本小问的解决方法是利用这个条件，得到含有的等式，对等式进行变形处理，使得等式左边是，右边是分式。则求证目标不等式等价于证等式右端的部分，运用作差比较法构造函数，对运用导数进行研究，即可证明原不等式；

（3）讨论函数的单调性，取绝对值得到的分段形式，若证明，则证明，记，求导分析单调性即可证得.

详解：（1），由，

得；由，得；

所以，的增区间为，减区间为，

所以，

不妨设，∴，

∴，

∴，∴，∴，

设，则，

所以，在上单调递增，，则，

因，故，所以；

（2）由（1）可知，在区间单调递增，又时，，

易知，在递增，，

∴，且时，；时，，

当时，，

于是时，，

所以，若证明，则证明，

记，

则，

∵，∴，

∴在内单调递增，∴，

∵，

∴在内单调递增，

∴，

于是时，.

所以在递减.

当时，相应的.

所以在递增.

故是的极小值点.