Question

【题目】在斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）中，侧面底面，底面是边长为2的正三角形，，.

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取的中点，连接，，通过证明，，证得平面，由此证得.

（2）解法一：利用几何法作出二面角的平面角，解三角形求得二面角的正切值，再求得其正弦值.

解法二：建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，再求得其正弦值.

（1）证明：如图，取的中点，连接，，

∵，

∴，

∵底面是边长为2的正三角形，

∴，，

∴，又，

∴平面，且平面，

∴.

（2）解法一：如上图，过点作于点，连接.

∵侧面底面，

∴侧面平面，又，侧面平面，

∴侧面，又平面，

∴，又且，

∴平面，∴，

∴为所求二面角的平面角，

∵，∴，

又，∴，

∴二面角的正弦值为.

法二：如图，取的中点，以为坐标原点，射线，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

∴，，

设为平面的法向量，

∴，

令，得，

又为平面的一个法向量，

设二面角的大小为，显然为锐角，

，

则，∴二面角的正弦值为.