Question

已知向量

a

=（1，2），

b

=（cosα，sinα），设

m

=

a

+t

b

（为实数）．
（1）求|

a

-

b

|的最大值
（2）若

a

⊥

b

，问：是否存在实数，使得向量

a

-

b

和向量

m

的夹角为

π

4

，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）|

a

-

b

|=

( a - b )2

=

6-2(2sinα+cosα)

，根据两角和的正弦公式2sinα+cosα=

5

sin(α+β)，这样便可求得最大值．
（2）先由

a

⊥

b

得出

a

•

b

=0，假设存在实数t使得向量

a

-

b

和向量

m

的夹角为

π

4

．然后根据两向量夹角的余弦公式能得到t²+5t-5=0，解出t即可．

解答： 解：（1）|

a

-

b

|=

( a - b )2

=

6-2(2sinα+cosα)

=

6-2 5 sin(α+β)

；
其中，tanβ=

1

2

，显然sin（α+β）=-1时，|

a

-

b

|最大为

6+2 5

=

( 5 +1)2

=

5

+1；
（2）由已知条件可得：

a

•

b

=0；
假设存在实数t，则：
cos

π

4

=

2

2

=

( a - b )•( a +t b )

( a - b )2 ( a +t b )2

=

5-t

6 • 5+t2

；
∴t²+5t-5=0；
解得t=

-5±3 5

2

．
∴存在实数t，使得向量

a

-

b

和向量

m

的夹角为

π

4

．

点评：考查向量数量积的坐标运算，两向量垂直的充要条件，两向量夹角的余弦公式，两角和的正弦公式，即对：asinα+bcosα=

a2+b2

sin(α+β)的运用．