Question

【题目】已知椭圆,不过原点的直线与椭圆交于A、B两点.

(1)求面积的最大值.

(2)是否存在椭圆,使得对于椭圆的每一条切线与椭圆均相交,设交于A、B两点,且恰取最大值?若存在,求出该椭圆;若不存在,说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

(1)若直线的斜率存在,设的方程为,代入椭圆方程得：

.

设, .则：

,，

故 .

在△OAB中,设边AB上的高为h.则

，

固定,于是,.

由此,得对任意的,有,当且仅当时,等号成立.

若直线的斜率不存在,设直线，

则易证,当且仅当时,等号成立，

综上,面积的最大值为.

(2)存在椭圆,该椭圆的任一切线与椭圆交于A、B两点,且.

事实上,设满足条件的椭圆为.过椭圆上任一点的切线方程为,

该切线与椭圆交于A、B两点，

若,则，

由切线方程得，

由(1)知的充分必要条件是，

下面证明:若,当时,仍然成立.

此时,过椭圆上任一点的切线方程为，

设，.

，

又,于是,

.

由(1)得.

综上,存在椭圆,使得对于椭圆的每一条切线与椭圆交于A、B两点,且恰取最大值.