Question

若x+

m

x

≥4在x∈[3，4]内恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：x+

m

x

≥4在x∈[3，4]内恒成立?m≥-x²+4x在x∈[3，4]内恒成立?m≥[-x²+4x]_max，x∈[3，4]．利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：x+

m

x

≥4在x∈[3，4]内恒成立?m≥-x²+4x在x∈[3，4]内恒成立
?m≥[-x²+4x]_max，x∈[3，4]．
令f（x）=-x²+4x=-（x-2）²+4，x∈[3，4]．
由二次函数的单调性可知：函数f（x）在区间[3，4]上单调递减．
∴f（x）_max=f（3）=-（3-2）²+4=3．
∴实数m的取值范围是[3，+∞）．
故答案为：[3，+∞）．

点评：本题考查了恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性，属于中档题．