Question

6．函数f（x）=Asin（ωx+φ）$（{A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的最小正周期及解析式；
（2）求函数f（x）在区间$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）在区间$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上的单调增区间．

解答 解：（1）由题图可得A=1，$\frac{T}{2}=\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
所以T=π=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=2．
当$x=\frac{π}{6}$时，f（x）=1，可得$sin（{2×\frac{π}{6}+φ}）=1$，∵$|φ|＜\frac{π}{2}$，∴$φ=\frac{π}{6}$，
所以f（x）的解析式为$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{6}}）$．
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，求得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}，k∈Z$，
又因为$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，所以单调增区间为$x∈[{0，\frac{π}{6}}]$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，正弦函数的单调性，属于基础题．