Question

若(x

x

-

1

x

)6的展开式中第五项等于

15

2

，则

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+

1

x3

+…+

1

xn

)=（　　）

• A、1
• B、

  1

  2

• C、

  1

  3

• D、

  1

  4

Answer 1

分析：若(x

x

-

1

x

)6的展开式中第五项等于

15

2

，即T₅=

15

2

，由此方程求出x的值，然后再求出

1

x

+

1

x2

+

1

x3

+…+

1

xn

的和，最后再求极限，选出正确选项

解答：解：∵(x

x

-

1

x

)6的展开式中第五项等于

15

2

，
∴

C

4 6

×(x

x?

)2×(-

1

x

)4=

15

2

，解得x=2
故

1

x

+

1

x2

+

1

x3

+…+

1

xn

=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1 2 ×(1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

∴

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+

1

x3

+…+

1

xn

)=

lim

n→∞

(1-

1

2n

)=1
故选A

点评：本题考查数列的极限与二项式定理，等比数列的求和公式，涉及到的知识较多，综合性强，熟练掌握二项式的性质、数列的求和公式及求极限的法则是解答本题的关键，本题考查了灵活转化的能力以及运算的能力，