Question

11．已知在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-a_n =$\frac{1}{（2n）^{2}-1}$，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过裂项可知a_n+1-a_n =$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），进而并项相加可知a_n-a₁ =$\frac{n-1}{2n-1}$，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n+1-a_n =$\frac{1}{（2n）^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴a_n-a_n-1 =$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），
a_n-1-a_n-2 =$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-5}$-$\frac{1}{2n-3}$），
…
a₂-a₁ =$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$），
累加得：a_n-a₁ =$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2n-5}$-$\frac{1}{2n-3}$+$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n-1}$）
=$\frac{n-1}{2n-1}$，
∴a_n=a₁+$\frac{n-1}{2n-1}$=1+$\frac{n-1}{2n-1}$=$\frac{3n-2}{2n-1}$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．