Question

（文）定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d-c，其中d＞c．
（1）已知函数y=|2^x-1|的定义域为[a，b]，值域为[0，

1

2

]，写出区间[a，b]长度的最大值与最小值．
（2）已知函数f（x）=2sinx，将函数y=f（x）的图象的每点横坐标缩短到原来的

1

2

倍，然后向左平移

π

8

个单位，再向上平移

3

个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有2014个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求区间[a，b]长度的最小值．
（3）已知函数f_M（x）的定义域为实数集D=[-2，2]，满足f_M（x）=

x，x∈M -x，x∉M

，（M是D的非空真子集）．集合A=[1，2]，B=[-2，-1]，求F（x）=

fA∪B(x)

fA(x)+fB(x)+3

的值域所在区间长度的总和．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数的图象与图象变化

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用数形结合求出即可；
（2）利用图象的平移得到g（x）的解析式，令g（x）=0，求得零点x的值，问题得以解决．
（3）中求出两区间长度作和即可．

解答： 解：（1）|2x-1|=

1

2

，解得x=-1或x=log2

3

2

，|2^x-1|=0，解得x=0，
画图可得：区间[a，b]长度的最大值为log₂3，最小值为log2

3

2

．

（2）g(x)=2sin(2(x+

π

8

))+

3

=2sin(2x+

π

4

)+

3

g(x)=0⇒sin(2x+

π

4

)=-

3

2

⇒x=kπ-

11π

24

或x=kπ-

7

24

π，k∈Z，
即g（x）的零点相离间隔依次为

π

6

和

5π

6

，
故若y=g（x）在[a，b]上至少含有2014个零点，则b-a的最小值为1007π-

5π

6

=1006

1

6

π．
（3）F(x)=

x 3 ，x∈A∪B x 2x-3 ，x∈(-1，1)

当x∈A∪B，F(x)∈[-

2

3

，-

1

3

]∪[

1

3

，

2

3

]，
当x∈（-1，1），F(x)∈(-1，

1

5

)，
所以x∈[-2，2]时，F(x)∈(-1，

1

5

)∪[

1

3

，

2

3

]
所以值域区间长度总和为

23

15

．

点评：本题属于函数零点的判定定理的应用问题，本题考查数形结合的思想，是同类问题求解中难度较大的题型