Question

【题目】已知为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且.

（1）求双曲线的方程；

（2）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别是和，试求的值；

（3）过圆上任意一点作切线交双曲线于两个不同点，中点为，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】分析：(1) 在直角三角形中，，解得，从而可得双曲线的方程；（2）确定两条渐近线方程，设双曲线上的点，求出点到两条渐近线的距离，利用在双曲线上，及向量的数量积公式，结合即可求得结论；（3）分类讨论: ①当切线的斜率存在，设切钱的方程代入双曲线中，利用韦达定理、弦长公式以及点到直线距离公式，结合直线与圆相切，可得成立；②当切线的斜率不存在时，求出的坐标，即可得到结论.

详解：（1）根据已知条件得，∴焦点坐标为，

∵轴，∴

在直角三角形中，，解得，

于是所求双曲线方程为.

（2）根据（1）易得两条双曲线渐近线方程分別为，，设点，则，

又在双曲线上，所以

于是.

（3）①当直线的斜率不存在时，则，于是，此时，即命题成立.

②当直线的斜率存在时，设的方程为切线与的交点坐标为，

于是有消去化成关于的二次为.

∵为的中点，∴

即坐标为

则，

又点到直线的距离为，.代入得：

，，故得证.