【题目】
已知函数,其中
是常数.
(Ⅰ)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)若存在实数,使得关于
的方程
在
上有两个不相等的实数根,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)当a=1时,f(1)=e,f′(1)=4e,由点斜式可求得y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ) 令f′(x)=ex[x2+(a+2)x)]=0,可解得x=﹣(a+2)或x=0,对﹣(a+2)与0的大小关系分类讨论,可求得关于x的方程f(x)=k在[0,+∞)上有两个不相等的实数根的k的取值范围.
解:(Ⅰ)由可得
.
当时,
,
.
所以 曲线在点
处的切线方程为
,
即
(Ⅱ) 令,
解得或
当,即
时,在区间
上,
,所以
是
上的增函数.
所以 方程在
上不可能有两个不相等的实数根.
当,即
时,
随
的变化情况如下表
↘ | ↗ |
由上表可知函数在
上的最小值为
.
因为 函数是
上的减函数,是
上的增函数,
且当时,有
.
所以 要使方程在
上有两个不相等的实数根,
的取值范围必须是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表,经过进一步统计分析,发现y与x具有线性相关关系.
价格x(元/kg) | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
日需求量y(kg) | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
(1)根据上表给出的数据,求出y与x的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,当价格元/kg时,日需求量y的预测值为多少?
(参考公式:线性回归方程,其中
,
.)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学有初中学生1800人,高中学生1200人.为了解全校学生本学期开学以来的课外阅读时间,学校采用分层抽样方法,从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”,按学生的课外阅读时间(单位:小时)各分为5组:,
,
,
,
,得其频率分布直方图如图所示.
(1)估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数约是多少;
(2)从全校课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人,求至少有2个初中生的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在以下命题中:
①三个非零向量,
,
不能构成空间的一个基底,则
,
,
共面;
②若两个非零向量,
与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则
,
共线;
③对空间任意一点和不共线的三点
,
,
,若
,则
,
,
,
四点共面
④若,
是两个不共线的向量,且
,则
构成空间的一个基底
⑤若为空间的一个基底,则
构成空间的另一个基底;
其中真命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】已知为双曲线
的左、右焦点,过
作垂直于
轴的直线,并在
轴上方交双曲线于点
,且
.
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线上一点
作两条渐近线的垂线,垂足分别是
和
,试求
的值;
(3)过圆上任意一点
作切线
交双曲线
于
两个不同点,
中点为
,证明:
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过时,则视为合格品,否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取5000件进行检测,结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位:
)将所得数据分组,得到如下频率分布表:
(1)将上面表格中缺少的数据填充完整;
(2)估计该厂生产的此种产品中,不合格的直径长与标准值的差落在区间内的概率
(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有20件不合格品,据此估算这批产品中的合格品的件数.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】高一年级6个班级去苏州、黄山、厦门三个地方修学旅行,每个城市至少有一个班前去,其中1班和2班不能去同一个地方,则共有_________种不同分配方法?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=logax,g(x)=m2x2﹣2mx+1,若b>a>1,且f(b),ab=ba.
(1)求a与b的值;
(2)当x∈[0,1]时,函数g(x)的图象与h(x)=f(x+1)+m的图象仅有一个交点,求正实数m的取值范围.
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