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【题目】已知函数fx)=logaxgx)=m2x22mx+1,若ba1,且fbabba

1)求ab的值;

2)当x[01]时,函数gx)的图象与hx)=fx+1+m的图象仅有一个交点,求正实数m的取值范围.

【答案】1a2b4.(2)(01][3+∞).

【解析】

1)利用以及列方程组,由此求解出的值.

2)首先求得的单调区间,将分成两种情况,结合图象仅有一个交点进行分类讨论,由此求得的取值范围.

1fx)=logax,(a1),

ba,且

可得

因为ba1,所以logab1

所以logab2,即a2b

因为abba

所以

所以a22a

解之得a2b4

2)因为m为正数,gx)=m2x22mx+1=(mx12为二次函数,

在区间为减函数,在区间为增函数,

函数ylog2x+1+m 上的增函数,

分两种情况讨论:

①当0m≤1 时,,在区间[01]上,y=(mx12为减函数,值域为[m121]

函数ylog2x+1+m 为增函数,值域为[mm+1],此时两个函数图象有一个交点,符合题意;

②当m1,得,在区间 上,y=(mx12为减函数,在区间 为增函数,

函数ylog2x+1+m 为增函数,值域为[mm+1]

若两个函数图象有一个交点,则有(m12m+1,解之得m≤0 m≥3

因为m为正数,则m≥3

综上m的取值范围为(01][3+∞).

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