Question

15．已知圆C通过不同的三点P（m，0）、Q（2，0）、R（0，1），且圆C在点P处的切线的斜率为1．
（1）求圆C的方程； 
（2）已知点A、B是圆C上的两点，直线PR与直线AB平行，且这两平行线间的距离$\frac{\sqrt{10}}{2}$，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，根据圆C通过不同的三点P（m，0）、Q（2，0）、R（0，1），PC的斜率为-1，求出D，E，F，即可求圆C的方程；
（2）求出直线PR的方程，设直线AB的方程为x-3y+c=0，则两平行线间的距离$\frac{|c-3|}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，求出c，利用圆心到直线的距离d=$\frac{|-\frac{1}{2}+\frac{15}{2}+c|}{\sqrt{10}}$＜$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，可得直线AB的方程．

解答 解：（1）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
则C点的坐标为（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），且PC的斜率为-1，
因为圆C通过不同的三点P（m，0）、Q（2，0）、R（0，1）
所以有$\left\{\begin{array}{l}{1+E+F=0}\\{4+2D+F=0}\\{-\frac{D}{2}=\frac{2+m}{2}}\\{\frac{-\frac{E}{2}-0}{-\frac{D}{2}-m}=-1}\end{array}\right.$解之得D=1，E=5，F=-6，m=-3．
所以圆C的方程为x²+y²+x+5y-6=0；
（2）直线PR的方程为$\frac{x}{-3}+\frac{y}{1}=1$，即x-3y+3=0，
设直线AB的方程为x-3y+c=0，则两平行线间的距离$\frac{|c-3|}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴c=8或-2，
又圆心到直线的距离d=$\frac{|-\frac{1}{2}+\frac{15}{2}+c|}{\sqrt{10}}$＜$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴c=-2，
∴直线AB的方程为x-3y-2=0．

点评 本题考查圆的一般方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．