Question

4．已知定义在R上的函数f（x）=2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$+1，a为常数，若f（x）为偶函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用单调性定义给予证明．

Answer 1

分析 （1）由f（x）在R为偶函数，便可得到f（-1）=f（1），这样即可得出a=1；
（2）求出$f（x）={2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}+1$，可以看出x增大时，f（x）增大，从而便知该函数在（0，+∞）上为增函数，根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，提取公因式${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$，证明f（x₁）＞f（x₂）即可．

解答 解：（1）f（x）为偶函数；
∴f（-1）=f（1）；
即$\frac{1}{2}+2a+1=2+\frac{a}{2}+1$；
∴a=1；
（2）f（x）=${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}+1$；
x增大时2^x增大，而$\frac{1}{{2}^{x}}∈（0，1）$减小幅度很小，∴该函数在（0，+∞）上为增函数，证明如下：
设x₁＞x₂＞0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={2}^{{x}_{1}}+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}-{2}^{{x}_{2}}-\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$=$（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）（1-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴${2}^{{x}_{1}}＞{2}^{{x}_{2}}，{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}＞1$；
∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＞0，1-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．

点评 考查偶函数的定义，指数函数的单调性，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差法比较f（x₁）与f（x₂），一般需提取公因式，从而可判断f（x₁）-f（x₂）的符号．