Question

12．已知矩形ABCD的顶点A（11，5），B（4，12），对角线交点P在x轴上，求：
（1）直线AD的方程；
（2）点P的坐标与直线CD的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知条件先求出AB的斜率，由AB⊥AD，得到AD的斜率，由此利用点斜式方程能求出直线AD的方程．
（2）设对角线AC∩BD于P（a，0），由P（a，0）为BD的中点知：D（2a-4，-12），由$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AD}$=0，能求出P的坐标与直线CD的方程．

解答 解：（1）∵矩形ABCD的顶点A（11，5），B（4，12），
∴${k}_{AB}=\frac{12-5}{4-11}$=-1，∵AB⊥AD，∴${k}_{AD}=-\frac{1}{{k}_{AB}}$=1，
∴直线AD的方程：y-5=x-11，整理，得：x-y-6=0．
（2）∵对角线交点P在x轴上，
∴设对角线AC∩BD于P（a，0），
由P（a，0）为BD的中点知：D（2a-4，-12），
$\overrightarrow{BA}$=（7，-7），$\overrightarrow{AD}$=（2a-15，-17），
∵ABCD为矩形，邻边垂直，内积为零，∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AD}$=7（2a-15）-7×（-17）=0，解得a=-1，
∴P（-1，0），D（-6，-12），
∵AB∥CD，∴k_CD=k_AB=-1，
∴CD所在直线：y+12=-（x+6），整理，得：x+y+18=0．

点评 本题考查直线方程的求法，考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要注意直线垂直、直线平行、向量等知识点的合理运用．