精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.

(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线l的方程.
(1)=1,e= ;(2) x+2y+2=0和x-2y+2=0.

试题分析:(1)设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0),右焦点为F2(c,0).因为△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,得b=.
结合c2=a2-b2,得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,∴离心率e=.
在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故S△AB1B2|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=b=b2.
由题设条件S△AB1B2=4,得b2=4,从而a2=5b2=20.
因此所求椭圆的标准方程为=1.
(2)由(1),知B1(-2,0),B2(2,0).由题意,知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2,代入椭圆方程,得(m2+5)y2-4my-16=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2,y1·y2=-.
=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),
·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=-+16=-.
由PB2⊥QB1,得·=0,即16m2-64=0,解得m=±2.
∴满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.
点评:直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:的离心率等于,点P在椭圆上。
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左右顶点分别为,过点的动直线与椭圆相交于两点,是否存在定直线,使得的交点总在直线上?若存在,求出一个满足条件的值;若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,设椭圆的左右焦点分别为,过焦点的直线交椭圆于两点,若的内切圆的面积为,设两点的坐标分别为,则值为        

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

椭圆上有两个动点,则的最小值为(  )
A.6B.C.9D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8.则椭圆的标准方程为       

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形,则椭圆的离心率的取值范围是(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

F1F2分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则的最大值为__________.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆的离心率为,且过点

(1)求椭圆的标准方程;
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线A   C、BD过原点O,若,
(i) 求的最值.
(ii) 求证:四边形ABCD的面积为定值;

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆,直线:y=x+m
(1)若与椭圆有一个公共点,求的值;
(2)若与椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案