试题分析:(1)设所求椭圆的标准方程为
+
=1(a>b>0),右焦点为F
2(c,0).因为△AB
1B
2是直角三角形,又|AB
1|=|AB
2|,故∠B
1AB
2为直角,因此|OA|=|OB
2|,得b=
.
结合c
2=a
2-b
2,得4b
2=a
2-b
2,故a
2=5b
2,c
2=4b
2,∴离心率e=
=
.
在Rt△AB
1B
2中,OA⊥B
1B
2,故S△AB
1B
2=
|B
1B
2|·|OA|=|OB
2|·|OA|=
b=b
2.
由题设条件S△AB
1B
2=4,得b
2=4,从而a
2=5b
2=20.
因此所求椭圆的标准方程为
+
=1.
(2)由(1),知B
1(-2,0),B
2(2,0).由题意,知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2,代入椭圆方程,得(m
2+5)y
2-4my-16=0.
设P(x
1,y
1),Q(x
2,y
2),则y
1,y
2是上面方程的两根,因此y
1+y
2=
,y
1·y
2=-
.
又
=(x
1-2,y
1),
=(x
2-2,y
2),
∴
·
=(x
1-2)(x
2-2)+y
1y
2=(my
1-4)(my
2-4)+y
1y
2=(m
2+1)y
1y
2-4m(y
1+y
2)+16=-
-
+16=-
.
由PB
2⊥QB
1,得
·
=0,即16m
2-64=0,解得m=±2.
∴满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.
点评:直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.