【题目】已知函数,
.
(1)求函数的单调区间;
(2)是否存在实数,使得函数
的极值大于
?若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)结合的定义域,以及导数的零点的情况,确定分类讨论的标准为
,从而求出对应的单调区间.
(2)由(1)可知,只有当时,
在定义域内有一个零点
,即为
的极大值点.要使得极大值
,等价转化为使得
,再结合导函数
的性质,即可得求得
的范围.
(1)函数的定义域为
.
①当时,
,∵
∴
∴ 函数单调递增区间为
.
② 当时,令
得
,
.
(ⅰ)当,即
时,
,
∴ 函数的单调递增区间为
.
(ⅱ)当,即
时,方程
的两个实根分别为
,
.
若,则
,此时,当
时,
.
∴函数的单调递增区间为
,
若,则
,
此时,当时,
,
单调递增
当时,
单调递减
综上,当时,函数
的单调递增区间为
单调递减区间为
;
当时,函数
的单调递增区间为
.
(2)解:由(1)得当时,函数
在
上单调递增,
故函数无极值;
当时,函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
则有极大值,其值为
, 其中
.
而,∴
设函数,则
,
则在
上为增函数.
又,故
等价于
.
因而
等价于
.
即在时,方程
的大根大于1,
设,由于
的图象是开口向下的抛物线,且经过点(0,1),对称轴
,则只需
,即
解得,而
,
故实数的取值范围为
.
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【题目】已知,T是由A的子集组成的集合,满足性质:空集和
属于
,且任意两个元素的交和并也属于T,
(1)当T的元素个数为2时,请写出所有符合条件的T.
(2)当T的元素个数为3时,请写出所有符合条件的T.
(3)求所有符合条件的T的个数.
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【题目】椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为
,离心率为
,过焦点
且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点M(0,-1),直线l经过点N(2,1)且与椭圆C相交于A,B两点(异于点M),记直线MA的斜率为,直线MB的斜率为
,证明
为定值,并求出该定值.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,ADC=
PAB=90°,BC=CD=
AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.
(I)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;
(II)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
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【题目】(1)时间经过(时),时针、分针各转了多少度?各等于多少弧度?
(2)有人说,钟的时针和分针一天内会重合24次。你认为这种说法是否正确?请说明理由.
(提示:从午夜零时算起,假设分针走了t min会与时针重合,一天内分针和时针会重合n次,建立t关于n的函数解析式,并画出其图象,然后求出每次重合的时间)
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【题目】已知函数(
,
),
(
).
(1)如果是关于
的不等式
的解,求实数
的取值范围;
(2)判断在
和
的单调性,并说明理由;
(3)证明:函数存在零点q,使得
成立的充要条件是
.
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【题目】在直角坐标系中,以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线
:
(
为参数),
:
(
为参数).
(1)化,
的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)直线的极坐标方程为
,若
上的点
对应的参数为
,
为
上的动点,求线段
的中点
到直线
距离的最小值.
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【题目】下列结论中正确的个数是( )
①正三棱锥的顶点在底面的射影到底面各顶点的距离相等;
②有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;
③两个底画平行且相似的多面体是棱台;
④底面是正三角形,其余各面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥.
A.0B.1C.5D.4
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