Question

已知数列{a_n}的前n项和s_n满足a_n+3s_n•s_n-1=0（n≥2，n∈N^*），a₁=

1

3

，则na_n的最小值为

-

1

3

．

Answer 1

分析：利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，将a_n+3s_n•s_n-1=0（n≥2，n∈N^*），变形为S_n-S_n-1+3S_nS_n-1=0．
进而得到

1

Sn

-

1

Sn-1

=3．利用等差数列的通项公式即可得出S_n．进而得到na_n=n（S_n-S_n-1），利用其单调性即可得出．

解答：解：∵a_n+3s_n•s_n-1=0（n≥2，n∈N^*），∴S_n-S_n-1+3S_nS_n-1=0．
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=3．
∴数列{

1

Sn

}是以

1

S1

=3为首项，3为公差的等差数列．
∴

1

Sn

=3+(n-1)×3，解得Sn=

1

3n

．
n=1时也成立．
∴na_n=n（S_n-S_n-1）=n(

1

3n

-

1

3(n-1)

)=

1

3

-

n

3(n-1)

=-

1

3(n-1)

．
n≥2，-

1

3(n-1)

单调递增，其最小值为-

1

3

，而-

1

3

＜1×

1

3

，故na_n的最小值为-

1

3

．
故答案为-

1

3

．

点评：熟练掌握a_n与S_n的相互转化、等差数列的通项公式及其数列的单调性即可得出．