Question

8．已知函数f（x）=e^x-$\frac{m}{2}$x²-mx-1．
（Ⅰ）当m=1时，求证：x≥0时，f（x）≥0；
（Ⅱ） 当m≤1时，试讨论函数y=f（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）m=1时，可求f'（x），f''（x），令f''（x）=0，得x=0，可得当x≥0时，f''（x）≥0，从而得证；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和（2）式知，当x≤0时，f''（x）≤0，可得 对?x∈R，f'（x）≥0，即e^x≥x+1，分类讨论当x≥-1时，当x＜-1时，函数y=f（x）的零点个数即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）m=1时，$f（x）={e^x}-\frac{x^2}{2}-x-1$，则f'（x）=e^x-x-1，…（1）
则f''（x）=e^x-1，…（2），
令f''（x）=0，得x=0，
当x≥0时，e^x≥1，
∴e^x-1≥0，即f''（x）≥0，
∴函数y=f'（x）在[0，+∞）上为增函数，即当x≥0时，f′（x）≥f′（0）=0，
∴函数y=f（x）在[0，+∞）上为增函数，即当x≥0时f（x）≥f（0）=0．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）和（2）式知，当x≤0时，e^x-1≤0，
∴f''（x）≤0，
∴函数f'（x）=e^x-x-1的减区间为（-∞，0]，增区间为（0，+∞），
∴f'（x）_min=f'（0）=0，
∴对?x∈R，f'（x）≥0，即e^x≥x+1，…（3）
①当x≥-1时，x+1≥0，又m≤1，
∴m（x+1）≤x+1，
∴由（3）得e^x-m（x+1）≥e^x-（x+1）≥0，即f'（x）≥0，
∴函数y=f（x）x≥-1为增函数，又f（0）=0，
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，当-1≤x＜0时，f（x）＜f（0）=0，
∴函数y=f（x）在x≥-1时有且仅有一个零点x=0，
②当x＜-1时，
ⅰ）当0≤m≤1时，-m（x+1）≥0，e^x＞0，
∴f'（x）=e^x-m（x-1）＞0，
∴函数y=f（x）在x＜-1时递减，
∴$f（x）＜f（{-1}）={e^{-1}}+\frac{m}{2}-1＜\frac{m-1}{2}＜0$，
故0≤m≤1时，函数y=f（x）在x＜-1时无零点，
ⅱ）当m＜0时，由f'（x）=e^x-mx-m，得f''（x）=e^x-m＞0，
∴函数y=f'（x）在x＜-1时递增，f'（-1）=e^-1＞0，
当$x≤\frac{{{e^{-1}}}}{m}-1$时，f'（x）＜e^-1-m（x+1）≤0，
∴由函数零点定理知$?{x^*}∈（{\frac{{{e^{-1}}}}{m}-1，-1}）$，使f'（x^*）=0，
故当x∈（x^*，-1）时，0=f'（x^*）＜f'（x）＜f'（-1）=e^-1，
当x∈（-∞，x^*）时，f'（x）＜f'（x^*）=0，
∴函数y=f（x）的减区间为（-∞，x^*），增区间为（x^*，-1），
又$f（{-1}）={e^{-1}}+\frac{m}{2}-1＜0$，
∴对?x∈[x^*，-1），f（x）＜0，
又当$x＜-\sqrt{1-\frac{2}{m}}-1（{x＜-1}）$时，$-\frac{m}{2}{x^2}-mx-1＞0$，
∴f（x）＞0，
由f（x^*）＜0，
∴$（{-\sqrt{1-\frac{2}{m}}，-1}）⊆$（-∞，x^*），
再由函数零点定理知?${x_0}∈（{-∞，{x^*}}）$，使得f（x₀）=0，
综上所述：当0≤m≤1时，函数y=f（x）有且仅有一个零点，
当m＜0时，函数y=f（x）有两个零点．                    …（12分）

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数零点的判定定理的应用，考查学生运用分类讨论思想、划归思想解决数学问题的能力，属难题．