Question

20．如图，圆内接四边形ABCD的边BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．
（1）若EF∥CD，证明：EF²=FA•FB；
（2）若EB=3EC，EA=2ED，求$\frac{DC}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）求证出△FAE∽△FEB，从而有$\frac{FA}{FE}=\frac{FE}{FB}$，从而得出EF²=FA•FB；
（2）根据割线定理得出$\frac{EC}{ED}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，证出△ECD∽△EAB，根据三角形内线段的对应关系求出$\frac{DC}{AB}$的值．

解答 解：（1）因为四边形ABCD内接于圆，有∠B=∠CDE，
又EF∥CD，所以∠CDE=∠FEA．
因此，∠B=∠FEA．
而∠F为公共角，
所以△FAE∽△FEB，
于是，$\frac{FA}{FE}=\frac{FE}{FB}$，即EF²=FA•FB．
（2）由割线定理，ED•EA=EC•EB，即ED•2ED=EC•3EC
所以$\frac{E{C}^{2}}{E{D}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，即$\frac{EC}{ED}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
因为∠B=∠CDE，∠CED时公共角，有△ECD∽△EAB．
于是，$\frac{DC}{AB}$=$\frac{EC}{EA}$=$\frac{EC}{2ED}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了圆的内接四边形的性质和切割线定理的运用，考查了相似三角形的判定和性质，考查了推理和运算能力，属于中档题．