Question

12．已知线段PD垂直于正方形ABCD所在平面，D为垂足，PD=3，AB=4，连接PA、PB、PC．
（1）求证：平面PBC⊥平面PDC；
（2）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出PD⊥BC，DC⊥BC，从而BC⊥平面PDC，由此能证明平面PBC⊥平面PDC．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答 证明：（1）∵线段PD垂直于正方形ABCD所在平面，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，DC⊥BC，
∵PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC，
∵BC?平面PDC，∴平面PBC⊥平面PDC．
解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，
DP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（4，0，0），B（4，4，0），C（0，4，0），
P（0，0，4），
$\overrightarrow{PB}$=（4，4，-4），$\overrightarrow{PA}$=（4，0，-4），
$\overrightarrow{PC}$=（0，4，-4），
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=4a+4b-4c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=4a-4c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=4x+4y-4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=4y-4z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
设二面角A-PB-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴二面角A-PB-C的余弦值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．