Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_a}（{\frac{1}{x+1}}）（{-1＜x＜1}）\\ f（{2-x}）-a+1（{1＜x＜3}）\end{array}\right.$，（a＞0，a≠1），若x₁≠x₂，则f（x₁）=f（x₂）时，x₁+x₂与2的大小关系是（　　）

• A． 恒小于2
• B． 恒大于2
• C． 恒等于2
• D． 与a相关

Answer 1

分析 根据变量关系，不妨设-1＜x₁＜1＜x₂＜3，则-1＜2-x₂＜1，设f（x₁）=f（x₂）=t，用t分别表示出x₁和x₂的关系，求出x₁+x₂的值，结合指数函数的单调性进行判断即可．

解答 解：若x₁≠x₂，设f（x₁）=f（x₂）=t，
不妨令-1＜x₁＜1＜x₂＜3，则-1＜2-x₂＜1
则f（x₁）=-log_a（x₁+1）=t，则1+x₁=a^-t，则x₁=a^-t-1，
f（x₂）=f（2-x₂）-a+1=-log_a（3-x₂）-a+1=t，
log_a（3-x₂）=1-a-t
则3-x₂=a^1-a-t，x₂=3-a^1-a-t，
则x₁+x₂=a^-t-1+3-a^1-a-t=2+（a^-t-a^1-a-t）
当0＜a＜1时，y=a^x为减函数，且-t＜-t+1-a，则a^-t＞a^1-a-t，此时x₁+x₂＞2；
当a＞1时，y=a^x为增函数，且-t＞-t+1-a，则a^-t＞a^1-a-t，此时x₁+x₂＞2；
故x₁+x₂的值恒大于2，
故选：B

点评 本题主要考查分段函数的应用，根据条件设f（x₁）=f（x₂）=t，求出出x₁+x₂的值，结合指数函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．