Question

16．已知点C是线段AB上一点，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CB}$，$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MC}}{|\overrightarrow{MA}|}$=$\frac{\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{MC}}{|\overrightarrow{MB}|}$，则$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|AB{|}^{2}}$的最小值为-$\frac{2}{9}$．

Answer 1

分析 由条件可知＜$\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{MC}$＞=＜$\overrightarrow{MB}，\overrightarrow{MC}$＞，分M在AB上和M在AB外讨论．

解答 解：∵$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MC}}{|\overrightarrow{MA}|}$=$\frac{\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{MC}}{|\overrightarrow{MB}|}$，∴$\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{MC}$的夹角与$\overrightarrow{MB}，\overrightarrow{MC}$的夹角相等，
①若M在线段AB上，则M与C重合，∴$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|AB{|}^{2}}$=$\frac{-CA•CB}{A{B}^{2}}=-\frac{2}{9}$．
②若M不在线段AB上，
则MC为∠AMB的平分线，∴∠AMC=∠BMC．
由正弦定理得$\frac{AC}{sin∠AMC}=\frac{MC}{sinA}$，$\frac{BC}{sin∠BMC}=\frac{MC}{sinB}$，
∵AC=2BC，
∴sinB=2sinA．
设MA=b，MB=a，AB=c，设∠AMB=θ，0＜θ＜π．
则b=2a.$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=abcosθ=2a²cosθ．
由余弦定理得|AB|²=c²=a²+b²-2abcosθ=5a²-4a²cosθ．
∴$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|AB{|}^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}cosθ}{5{a}^{2}-4{a}^{2}cosθ}$=$\frac{2cosθ}{5-4cosθ}$．
设f（θ）=$\frac{2cosθ}{5-4cosθ}$，则f′（θ）=$\frac{-10sinθ}{（5-4cosθ）^{2}}$＜0，
∴f（θ）在（0，π）上是减函数，∴f（θ）＞f（π）=-$\frac{2}{9}$．
综上，$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|AB{|}^{2}}$的最小值为-$\frac{2}{9}$．
故答案为：-$\frac{2}{9}$．

点评 本题考查了平面向量的夹角公式，正余弦定理在解三角形中的应用，函数的单调性与最值，属于中档题．