Question

6．若b_m为数列{2ⁿ}中不超过Am³（m∈N^*）的项数，2b₂=b₁+b₅且b₃=10，则正整数A的值为64或65．

Answer 1

分析 由题意可得：${a}_{n}={2}^{n}$，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b₁=t，即数列{a_n}中，不超过A的项恰有t项，则2^t≤A＜2^t+1，同理：2^t+d≤8A＜2^t+d+1，2^t+2d≤125A＜2^t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论后求得满足条件的正整数A的值．

解答 解：依题意：${a}_{n}={2}^{n}$，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，
设b₁=t，即数列{a_n}中，不超过A的项恰有t项，
∴2^t≤A＜2^t+1，
同理：2^t+d≤8A＜2^t+d+1，2^t+2d≤125A＜2^t+2d+1，
可得：2^t≤A＜2^t+1，2^t+d-3≤A＜2^t+d-2，$\frac{{2}^{t+2d}}{125}≤A＜\frac{{2}^{t+2d+1}}{125}$，
故max{${2}^{t}，{2}^{t+d-3}，\frac{{2}^{t+2d}}{125}$}≤A＜min{${2}^{t+1}，{2}^{t+d-2}，\frac{{2}^{t+2d+1}}{125}$}，
由以下关系：2^t+d-3＜2^t+1，$\frac{{2}^{t+2d}}{125}＜{2}^{t+d-2}$，得d＜4，
∵d为正整数，∴d=1，2，3．
当d=1时，max{${2}^{t}，{2}^{t+d-3}，\frac{{2}^{t+2d}}{125}$}=max{${2}^{t}，\frac{{2}^{t}}{4}，\frac{4×{2}^{t}}{125}$}=2^t，
min{${2}^{t+1}，{2}^{t+d-2}，\frac{{2}^{t+2d+1}}{125}$}=min{${2}^{t+1}，\frac{{2}^{t}}{2}，\frac{8×{2}^{t}}{125}$}=$\frac{8×{2}^{t}}{125}$＜2^t，不合题意，舍去；
当d=2时，max{${2}^{t}，{2}^{t+d-3}，\frac{{2}^{t+2d}}{125}$}=max{${2}^{t}，{2}^{t-1}，\frac{16×{2}^{t}}{125}$}=2^t，
min{${2}^{t+1}，{2}^{t+d-2}，\frac{{2}^{t+2d+1}}{125}$}=min{${2}^{t+1}，{2}^{t}，\frac{32×{2}^{t}}{125}$}=$\frac{32×{2}^{t}}{125}$＜2^t，不合题意，舍去；
当d=3时，max{${2}^{t}，{2}^{t+d-3}，\frac{{2}^{t+2d}}{125}$}=max{${2}^{t}，{2}^{t}，\frac{64×{2}^{t}}{125}$}=2^t，
min{${2}^{t+1}，{2}^{t+d-2}，\frac{{2}^{t+2d+1}}{125}$}=min{${2}^{t+1}，{2}^{t+1}，\frac{128×{2}^{t}}{125}$}=$\frac{128×{2}^{t}}{125}$＞2^t，适合题意．
此时2^t≤A＜$\frac{128}{125}•{2}^{t}$，b₁=t，b₂=t+3，b₅=t+6，∴t+3≤b₃≤t+6．
∵b₃=10，∴4≤t≤7，
∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．
∵f（3）=27A，b₃=10，
∴2¹⁰≤27A＜2¹¹，∴$\frac{{2}^{10}}{27}$≤A＜$\frac{{2}^{11}}{27}$．
当t=4时，2⁴≤A＜$\frac{{2}^{11}}{125}$，∴无解．
当t=5时，2⁵≤A＜$\frac{{2}^{12}}{125}$，∴无解．
当t=6时，2⁶≤A＜$\frac{{2}^{13}}{125}$，∴64≤A＜$\frac{{2}^{13}}{125}$．
当t=7时，2⁷≤A＜$\frac{{2}^{14}}{125}$，∴无解．
则2⁶≤A＜$\frac{{2}^{13}}{125}$．
∵A∈N^*，∴A=64或A=65．
综上：A=64或65．
故答案为：64或65．

点评 本题考查了数列的递推关系、数列的通项公式、等比数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，入手困难，难度较大．