Question

8．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，${cos}^{2}\frac{x}{4}$），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（I）求f（x）的最大值，并求此时x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足f（B）=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，a=2，c=3，求sinA的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量数量积的坐标表示结合降幂公式及辅助角公式化简求得f（x），进一步求得函数的最大值，并求得使函数取得最大值的x的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的解析式结合f（B）=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$求得B，再由余弦定理求得b，最后由正弦定理得答案．

解答 解：（Ⅰ）由$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，${cos}^{2}\frac{x}{4}$），
得f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}+co{s}^{2}\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin\frac{x}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$=$sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
∴$f（x）_{max}=\frac{3}{2}$，
此时$\frac{x}{2}+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ$，即$x=\frac{2π}{3}+4kπ，k∈Z$．
（Ⅱ）在△ABC中，由f（B）=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，得$sin（\frac{B}{2}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}$，
∴$sin（\frac{B}{2}+\frac{π}{6}）=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜B＜π，∴$\frac{π}{6}＜\frac{B}{2}+\frac{π}{6}＜\frac{2}{3}π$，
则$\frac{B}{2}+\frac{π}{6}=\frac{π}{3}$，则B=$\frac{π}{3}$．
又a=2，c=3，
∴${b}^{2}={a}^{2}+{c}^{2}-2ac•cos\frac{π}{3}=4+9-6=7$，
则b=$\sqrt{7}$．
由$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}$，得$sinA=\frac{a}{b}sinB=\frac{2}{\sqrt{7}}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查三角函数中的恒等变换应用，训练了正弦定理及余弦定理的应用，是中档题．