Question

18．在△ABC中，已知cos2C=-$\frac{1}{4}$，若a=2，2sinA=sinC，则b的值为（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． 2$\sqrt{6}$
• C． $\sqrt{6}$或2$\sqrt{6}$
• D． 8

Answer 1

分析 由题意求得sinC的值，可得sinA和cosA的值，从而求得cosC的值，利用诱导公式、两角和的正弦公式求得sinB=sin（A+C）的值，再利用正弦定理求得b的值．

解答 解：△ABC中，∵已知cos2C=-$\frac{1}{4}$=1-2sin²C，∴sinC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
若a=2，2sinA=sinC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，c=2a=4，∴cosA=$\sqrt{{1-sin}^{2}A}$=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$，
故c＞a，∴cosC=$\sqrt{{1-sin}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，或cosC=-$\sqrt{{1-sin}^{2}C}$=-$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴当cosC=$\frac{\sqrt{6}}{4}$ 时，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{\sqrt{60}}{8}$，
b=a•$\frac{sinB}{sinA}$=2$\sqrt{6}$；
当cosC=-$\frac{\sqrt{6}}{4}$ 时，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
b=a•$\frac{sinB}{sinA}$=$\sqrt{6}$，
故选：C．

点评 本题主要考查诱导公式、正弦定理和余弦定理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．