Question

8．设S_n是数列a_n=$\frac{1}{3}$[2ⁿ-（-1）ⁿ]的前n项的和，且b_n=a_na_n+1，问是否存在常数λ，使得b_n-λS_n＞0对任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 要使b_n-λS_n＞0，对?n∈N^*都成立，下面对n进行分类讨论：①当n为正奇数时，②当n为正偶数时，分别求得λ的取值范围，最后综上所述得到，存在常数λ，使得b_n-λS_n＞0对?n∈N^*都成立，λ的取值范围．

解答 解：∵a_n=$\frac{1}{3}$[2ⁿ-（-1）ⁿ]，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n，
=$\frac{1}{3}$[（2+2²+…+2ⁿ）-（（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ）]，
=$\frac{1}{3}$[$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-$\frac{（-1）[1-（-1）^{n}]}{1+1}$]，
=$\frac{1}{3}$[2ⁿ⁺¹-2-$\frac{-1+（-1）^{n}}{2}$]，
=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{n}+1}{3}-\frac{2}{3}，n为偶数}\\{\frac{{2}^{n}+1}{3}-\frac{1}{3}，n为奇数}\end{array}\right.$
又b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{9}$[2ⁿ-（-1）ⁿ][2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ⁺¹]，
=$\frac{1}{9}$[2ⁿ⁺¹-（-2）ⁿ-1]，
∵b_n-λs_n＞0，
∴$\frac{1}{9}$[2ⁿ⁺¹-（-2）ⁿ-1]-λ$\frac{1}{3}$[2ⁿ⁺¹-2-$\frac{-1+（-1）^{n}}{2}$]＞0，
∴当n为奇数时，
[2ⁿ⁺¹-（-2）ⁿ-1]-λ（$\frac{{2}^{n+1}}{3}$）＞0，
∴λ＜$\frac{1}{3}$（2ⁿ+1）对?n∈{奇数}都成立，
∴λ＜1；
当n为偶数时，
$\frac{1}{9}$[2ⁿ⁺¹-（-2）ⁿ-1]-λ（$\frac{{2}^{n+1}}{3}$）-$\frac{2}{3}$＞0，
∴λ＜$\frac{1}{6}$（2ⁿ⁺¹+1）对?n∈{偶数}都成立，
∴λ＜$\frac{3}{2}$，
综上所述，λ的取值范围为λ＜1．

点评 本小题主要考查等比关系的确定、数列的求和、不等式的解法、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于难题．