Question

20．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n，a_n，$\frac{1}{2}$成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若b_n=log₂a_n+3，求数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）由题知：$2{a_n}={S_n}+\frac{1}{2}$，利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=n+1，$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）由题知：$2{a_n}={S_n}+\frac{1}{2}$，∴$2{a_{n-1}}={S_{n-1}}+\frac{1}{2}（{n≥2}）$，
两式相减，化简得：a_n=2a_n-1（n≥2），
故{a_n}是等比数列，且公比q=2，而n=1时，${a_1}=\frac{1}{2}$．
∴${a_n}=\frac{1}{2}•{2^{n-1}}={2^{n-2}}$．
（2）b_n=n+1，$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．