Question

5．在n元数集S={a₁，a₂，…a_n}中，设X（S）=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$，若S的非空子集A满足X（A）=X（S），则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为f_s（k），已知集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，T={-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}，则下列说法错误的是（　　）

• A． f_s（4）=f_s（5）
• B． f_s（4）=f_T（5）
• C． f_s（1）+f_s（4）=f_T（5）+f_T（8）
• D． f_s（2）+f_s（3）=f_T（4）

Answer 1

分析 根据新定义求出k元平均子集的个数，逐一判断．

解答 解：X（S）=5，将S中的元素分成5组（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5）．
则f_S（1）=${C}_{1}^{1}$=1，f_S（2）=${C}_{4}^{1}$=4，f_S（3）=${C}_{1}^{1}$•${C}_{4}^{1}$=4，f_S（4）=${C}_{4}^{2}$=6，f_S（5）=${{C}_{1}^{1}}_{\;}^{\;}$•${C}_{4}^{2}$=6，
同理：X（T）=0，将T中的元素分成5组（1，-1），（2，-2），（3，-3），（4，-4），（0）．
则f_T（1）=${C}_{1}^{1}$=1，f_T（2）=${C}_{4}^{1}$=4，f_T（3）=${C}_{1}^{1}$•${C}_{4}^{1}$=4，f_T（4）=${C}_{4}^{2}$=6，f_T（5）=${{C}_{1}^{1}}_{\;}^{\;}$•${C}_{4}^{2}$=6，f_T（8）=${C}_{4}^{4}$=1，
∴f_S（4）=f_S（5）=6，f_S（4）=f_T（5）=6，f_S（1）+f_S（4）=f_T（5）+f_T（8）=7．
故选：D．

点评 本题考查了对新定义的理解，组合数公式的应用，属于中档题．