Question

15．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$．
（1）证明；数列{a_n}是等比数列；
（2）设b_n=log₂a_2n+1，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$与S_n-1=2a_n-1-$\frac{1}{2}$（n≥2）作差，进而整理即得结论；
（2）通过（1）可知a_n=2^n-2，进而可知b_n=2n-1，裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），进而并项相加即得结论．

解答 （1）证明：∵S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$，
∴S_n-1=2a_n-1-$\frac{1}{2}$（n≥2），
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
又∵a₁=2a₁-$\frac{1}{2}$，即a₁=$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}是首项为$\frac{1}{2}$、公比为2的等比数列；
（2）解：由（1）可知a_n=$\frac{1}{2}$•2^n-1=2^n-2，
∵b_n=log₂a_2n+1=log₂2^2n-1=2n-1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．