Question

4．已知指数函数y=g（x）满足：g（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2}$，定义域为R的函数f（x）=$\frac{1-g（x）}{m+2g（x）}$是奇函数．
（1）确定y=f（x）和y=g（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若对于任意x∈[-5，5]，都有f（1-x）+f（1-2x）＞0成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设g（x）=a^x，由条件求得a的值，再根据f（x）是奇函数，求得m的值，可得f（x）的解析式．
（2）任取x₁＜x₂，根据f（x₁）-f（x₂）＞0，可得函数f（x）为减函数．
（3）由条件利用f（x）时奇函数，且是减函数，求得x的范围．

解答 解：（1）设g（x）=a^x，∵g（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{a}$=$\sqrt{2}$，∴a=2，g（x）=2^x．
∴f（x）=$\frac{1-g（x）}{m+2g（x）}$=$\frac{1{-2}^{x}}{m+2{•2}^{x}}$，∵f（x）是奇函数，∴f（-1）+f（1）=0，
即$\frac{1-\frac{1}{2}}{m+1}$+$\frac{1-2}{m+4}$=0，解得m=2，f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{2+2{•2}^{x}}$，经过检验，f（x）为奇函数．
（2）任取x₁＜x₂，∵f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1{-2}^{{x}_{1}}}{2（1{+2}^{{x}_{1}}）}$-$\frac{1{-2}^{{x}_{2}}}{2（1{+2}^{{x}_{2}}）}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}}{（1{+2}^{{x}_{1}}）•（1{+2}^{{x}_{2}}）}$，
∵由题设可得${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，1+${2}^{{x}_{1}}$＞0，1+${2}^{{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即 f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）是定义在R上的减函数．
（3）∵对于任意x∈[-5，5]，都有f（1-x）+f（1-2x）＞0成立，f（x）为奇函数，
故有f（1-x）＞-f（1-2x）=f（2x-1），∴1-x＜2x-1，求得x＞$\frac{2}{3}$． 
又∵x∈[-5，5]，∴$\frac{2}{3}$＜x≤5，即x的取值范围是（$\frac{2}{3}$，5]．

点评 本题主要考查函数的奇偶性，求函数的解析式，函数的单调性的定义和应用，属于中档题．