Question

14．已知二次函数f（x）=ax²+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=xf（x）+4x在x∈[0，2]的最值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=ax²+bx-3，知f′（x）=2ax+b．由二次函数f（x）=ax²+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行，知f′（1）=0，f′（0）=-2，由此能求出a，b，进而得到f（x）；
（2）由f（x）=x²-2x-3，知g（x）=xf（x）+4x=x³-2x²+x，所以g′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）．令g′（x）=0，得x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=1，求得极值．由g（0）=0，g（2）=2，能求出函数g（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+bx-3，
∴f′（x）=2ax+b．
∵二次函数f（x）=ax²+bx-3在x=1处取得极值，
且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行，
∴f′（1）=0，f′（0）=-2，
即为2a+b=0，b=-2，
解得a=1，b=-2．
可得f（x）=x²-2x-3；
（2）∵f（x）=x²-2x-3，
∴g（x）=xf（x）+4x=x³-2x²+x，
即有g′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）．
令g′（x）=0，得x=$\frac{1}{3}$，或x=1．
且g（$\frac{1}{3}$）=$\frac{4}{27}$，g（1）=0，
又g（0）=0，g（2）=2，
可得函数g（x）的最大值为2，最小值为0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和闭区间上函数最值，考查运算求解能力，属于中档题．