Question

13．正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*），设c_n=（-1）ⁿ$\frac{2{a}_{n}+1}{2{S}_{n}}$，则数列{c_n}的前2016项的和为（　　）

• A． -$\frac{2015}{2016}$
• B． -$\frac{2016}{2015}$
• C． -$\frac{2017}{2016}$
• D． -$\frac{2016}{2017}$

Answer 1

分析 由2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*），a_n＞0，可得：当n=1时，$2{a}_{1}={a}_{1}^{2}$+a₁，解得a₁．当n≥2时，化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，可得a_n-a_n-1=1，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得：a_n，S_n．可得c_n=（-1）ⁿ$•\frac{2n+1}{n（n+1）}$=（-1）ⁿ$（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$，即可得出．

解答 解：∵2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*），a_n＞0，∴当n=1时，$2{a}_{1}={a}_{1}^{2}$+a₁，解得a₁=1．
当n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=a_n²+a_n-$（{a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}）$，化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为1，首项为1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴c_n=（-1）ⁿ$\frac{2{a}_{n}+1}{2{S}_{n}}$=（-1）ⁿ$•\frac{2n+1}{n（n+1）}$=（-1）ⁿ$（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$，
则数列{c_n}的前2016项的和=-$（1+\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）$-$（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{2016}+\frac{1}{2017}）$
=-1+$\frac{1}{2017}$
=-$\frac{2016}{2017}$．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．