Question

6．利用关系式1+tan²α=sec²α与1+cot²α=csc²α，证明：$\frac{1-cscα+cotα}{1+cscα-cotα}$=$\frac{cscα+cotα-1}{cscα+cotα+1}$．

Answer 1

分析 把要证的等式利用同角三角函数的基本关系等价转化为①，再由条件可得①显然成立，从而证得等式成立．

解答 解：等式$\frac{1-cscα+cotα}{1+cscα-cotα}$=$\frac{cscα+cotα-1}{cscα+cotα+1}$，
等价于（1+cotα-cscα）•（1+cotα+cscα）=（cscα+cotα-1）•[cscα-（cotα-1）]，
等价于（1+cotα）²-csc²α=csc²α-（cotα-1）²，
等价于1+cot²α+2cotα-csc²α=csc²α-cot²α-1+2cotα ①．
∵1+cot²α=csc²α，
故①等价于2cotα=2cotα，此式显然成立，故等式$\frac{1-cscα+cotα}{1+cscα-cotα}$=$\frac{cscα+cotα-1}{cscα+cotα+1}$成立．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．