Question

11．已知离心率为$\frac{1}{2}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），过点M（2，0），过点Q（1，0）的直线和椭圆C相交于A，B两点，设点P（4，3），记PA，PB的斜率分别为k₁，k₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）探究k₁+k₂是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k₁+k₂的范围；
（3）探究k₁•k₂是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k₁•k₂的范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，解得c=1，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）设过Q（1，0）的直线为x=my+1，代入椭圆方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用直线的斜率公式，结合A，B在直线上，化简整理即可得到所求定值；
（3）运用直线的斜率公式，化简整理可得$\frac{3}{4}$+$\frac{m}{2（1+{m}^{2}）}$，讨论m=0，m＞0，m＜0，运用基本不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）由题意可得a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
可得c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设过Q（1，0）的直线为x=my+1，代入椭圆方程，可得
（4+3m²）y²+6my-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得
y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，
则k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-3}{{x}_{1}-4}$+$\frac{{y}_{2}-3}{{x}_{2}-4}$=$\frac{{y}_{1}-3}{m{y}_{1}-3}$+$\frac{{y}_{2}-3}{m{y}_{2}-3}$
=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+18-（3+3m）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+9-3m（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{-18m+72+54{m}^{2}+18m+18{m}^{2}}{-9{m}^{2}+36+27{m}^{2}+18{m}^{2}}$
=$\frac{72（1+{m}^{2}）}{36（1+{m}^{2}）}$=2为定值
当直线为y=0时，可得A（-2，0），B（2，0），
k₁+k₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$=2成立；
（3）k₁k₂═$\frac{{y}_{1}-3}{{x}_{1}-4}$•$\frac{{y}_{2}-3}{{x}_{2}-4}$=$\frac{{y}_{1}-3}{m{y}_{1}-3}$•$\frac{{y}_{2}-3}{m{y}_{2}-3}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}+9-3（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+9-3m（{y}_{1}+{y}_{2}）}$
=$\frac{-9+36+27{m}^{2}+18m}{-9{m}^{2}+36+27{m}^{2}+18{m}^{2}}$=$\frac{27{m}^{2}+18m+27}{36（1+{m}^{2}）}$=$\frac{3}{4}$+$\frac{m}{2（1+{m}^{2}）}$，
由m=0，可得$\frac{m}{2（1+{m}^{2}）}$=0；当m＞0，可得$\frac{m}{2（1+{m}^{2}）}$=$\frac{1}{2（m+\frac{1}{m}）}$≤$\frac{1}{2•2}$=$\frac{1}{4}$，
当且仅当m=1，取得等号；
当m＜0，可得$\frac{m}{2（1+{m}^{2}）}$=$\frac{1}{2（m+\frac{1}{m}）}$≥-$\frac{1}{2•2}$=-$\frac{1}{4}$，（当且仅当m=-1时，取得等号），
即有$\frac{3}{4}$+$\frac{m}{2（1+{m}^{2}）}$∈[$\frac{1}{2}$，1]．
则k₁•k₂的范围为[$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．