Question

16．被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作，其中卷六《均输》篇中：今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？意思是说，今有人持金出五关，第一关收税金二分之一，第二关收税金三分之一，第三关收税金四分之一，第四关收税金五分之一，第五关收税金六分之一，五关所收税金之和恰好为1斤，问原本持金多少？答$\frac{6}{5}$斤．

Answer 1

分析 设原本持金为x斤，从而依次列出可得第五关税金：$\frac{1}{2}$x•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{1}{6}$，剩余$\frac{1}{2}$x•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{5}{6}$；从而可得x-$\frac{1}{6}$x=1，从而解得．

解答 解：设原本持金为x斤，
第一关税金：$\frac{1}{2}$x，剩余$\frac{1}{2}$x；
第二关税金：$\frac{1}{2}$x•$\frac{1}{3}$，剩余$\frac{1}{2}$x•$\frac{2}{3}$；
第三关税金：$\frac{1}{2}$x•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{4}$，剩余$\frac{1}{2}$x•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$；
第四关税金：$\frac{1}{2}$x•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{5}$，剩余$\frac{1}{2}$x•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{4}{5}$；
第五关税金：$\frac{1}{2}$x•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{1}{6}$，剩余$\frac{1}{2}$x•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{5}{6}$；
故x-$\frac{1}{2}$x•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{5}{6}$=1，
故x-$\frac{1}{6}$x=1，
故x=$\frac{6}{5}$，
故答案为：$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了数列的性质的应用及学生的转化能力．