Question

4．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0），点A（2，$\sqrt{2}$）为椭圆上一点．
（I）求椭圆E的方程；
（II）设M，N为椭圆上两点，若直线AM的斜率与直线AN的斜率互为相反数，求证：直线MN的斜率为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得c=2，将A代入椭圆方程，结合a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线AM方程y=k（x-2）+$\sqrt{2}$，代入椭圆方程，利用点A（2，$\sqrt{2}$）在椭圆上，可求M的坐标，利用直线AN的斜率与AM的斜率互为相反数，将k换为-k，可求N的坐标，由两点的斜率公式，可得直线MN的斜率，化简整理即可得到定值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得c=2，即a²-b²=4，
将A代入椭圆方程，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$=1，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=2，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）证明：设直线AM方程y=k（x-2）+$\sqrt{2}$，
代入椭圆方程，消y可得（1+2k²）x²+4k（$\sqrt{2}$-2k）x+2（$\sqrt{2}$-2k）²-8=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
因为点A（2，$\sqrt{2}$）在椭圆上，
所以x₁=$\frac{（\sqrt{2}-2k）^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，y₁=kx₁+$\sqrt{2}$-2k．
又直线AN的斜率与AM的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，
可得x₂=$\frac{（\sqrt{2}+2k）^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，y₂=-kx₂+$\sqrt{2}$+2k．
所以直线MN的斜率k_MN=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k（{x}_{2}+{x}_{1}）+4k}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
=$\frac{-k（-4+8{k}^{2}）+4k+8{k}^{3}}{8\sqrt{2}k}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
即直线MN的斜率为定值，其值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线的斜率为定值的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及两点的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．